高三集体备课材料

第2课时 不等式的证明与柯西不等式

教学目标：1．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、放缩法、     数学归纳法．

重点：掌握证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、放缩法、  数学归纳法．

难点：不等式的证明

注意：提前布置学生预习“课本导读”并完成“教材回归”

【教学设计】：

一、复习导入……3分钟

1、简要梳理知识：不等式的证明的方法有          .

2、点评教材回归

二、例题练讲（学生用书P220）先思考，再讲评，以教师讲为主…22分钟

题型一    放缩法证明不等式

例1　(2010·江苏卷，理)设a，b是非负实数，求证：a³＋b³≥(a²＋b²)．

【解析】　由a，b是非负实数，作差得

a³＋b³－(a²＋b²)＝a²(－)＋b²(－)

＝(－)(()⁵－()⁵)．

当a≥b时，≥，从而()⁵≥()⁵，得(－)(()⁵－()⁵)≥0；

当a＜b时，＜，从而()⁵＜()⁵，得(－)(()⁵－()⁵)＞0.

所以a³＋b³≥(a²＋b²)．

法二：作差证明

题型二    三个正数的算术——几何平均不等式问题

例2　已知x∈R^＋，求函数y＝x(1－x²)的最大值．

【思路分析】　利用平均值不等式abc≤()³(a>0，b>0，c>0)求解．

解析】　∵y＝x(1－x²)，

∴y²＝x²(1－x²)²＝2x²(1－x²)(1－x²)·.

∵2x²＋(1－x²)＋(1－x²)＝2，

∴y²≤()³＝.

当且仅当2x²＝1－x²＝1－x²，即x＝时，取“＝”，

∴y≤.∴y_max＝.

法二：求导

四、巩固练习  练8分讲5分（两位学生板演，检查巩固情况），学生练为主

思考题1　(2010·辽宁卷，理)已知a，b，c均为正数，证明：a²＋b²＋c²＋(＋＋)²≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．

思考题2　设a，b，c为正实数，求证：＋＋＋abc≥2.

作业布置：完成课时作业（七十五）1，3，4，5， 7，8，

教学反思

备 课  札 记

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